Por que o movimento browniano é frequentemente usado em finanças? Como é diferente modelar a mesma coisa usando um processo de caminhada aleatória com um desvio?
Respostas
11/21/2024
Ashjian Eakin
Em 1900, o matemático francês Louis Bachelier (1870-1946) concluiu uma tese de doutorado (supervisionada pela grande Henri Poincaré), no qual ele elaborou um modelo para a variação dos preços dos ativos (ou seja, de coisas que podem ser compradas e vendidas várias vezes) como ações e títulos. A tese, intitulada Théorie de la spéculation ("Teoria da especulação") recebeu uma recepção positiva do júri e foi publicada logo depois. Foi então amplamente esquecido por sessenta anos, até ser resgatado da obscuridade por economistas Paul Samuelson e outros, que perceberam que Bachelier havia feito uma contribuição seminal para o problema de entender os preços dos ativos. A tese de Bachelier é agora geralmente citada como o documento fundador das finanças quantitativas. Em 2006, foi publicado em tradução inglesa pela Princeton University Press, com um prefácio de Samuelson e comentários de dois matemáticos britânicos:
O principal insight de Bachelier foi que, se os preços dos ativos mostrassem algum padrão identificável (além da tendência de crescimento de longo prazo associada à expansão macroeconômica), seria de esperar que os especuladores o encontrassem e explorassem, eliminando-o. Assim, por exemplo, se fosse possível saber agora que o preço de uma determinada ação aumentará em três meses, os especuladores que negociam com esse conhecimento agiriam para amenizar esse aumento.
Vale citar o relatório oficial da tese de Bachelier, co-assinado por Poincaré, Appelle Boussinesq:
One could imagine combinations of prices on which one could bet with certainty. The author cites some examples. It is clear that such combinations are never produced, or that if they are produced they will not persist. The buyer believes in a probable rise, without which he would not buy, but if he buys, there is someone who sells to him and this seller believes a fall to be probable. From this it follows that the market taken as a whole considers the mathematical expectation of all transactions and all combinations of transactions to be null. [emphasis added]
Assim, depois que os especuladores incorporarem todo o conhecimento disponível em seus negócios, espera-se que o resultado sejam preços mostrando flutuações imprevisíveis, independentemente de sua história passada. Isto é o que é chamado modernamente de "Caminhada aleatória"ou, em certos contextos, um"martingale".
As equações que Bachelier obteve deste modelo correspondem ao que é conhecido na física como movimento browniano. Bachelier escreveu isso cinco anos antes O célebre artigo de Albert Einstein explicando o movimento browniano físico em termos de mecânica estatística. Tanto quanto sabemos, Einstein nunca ouviu falar de Bachelier. A teoria matemática do movimento browniano como processo estocástico foi posteriormente formalizada por Norbert Wiener. Alguns matemáticos, portanto, se referiram ao movimento browniano como o "Bachelier-Processo de salsicha".
O próprio Bachelier estava bem ciente de (de fato, guiado por) uma analogia à lei de Fourier para a difusão física do calor (ver equação do calor) De acordo com o relatório oficial:
The manner in which M. Bachelier extracts [the central limit theorem] is very original and all the more interesting as his reasoning could extend with some changes to the theory of [the propagation of uncertainty]. He develops it in a chapter whose title seems a little strange, because he calls it 'Radiation of Probability'. It is in effect a comparison with the analytic theory of heat propagation to which the author has had recourse. A little reflection shows that the analogy is real and the comparison legitimate. The reasoning of Fourier is applicable almost without change to this problem, so different from that for which it was created.
As idéias de Bachelier foram refinadas e sistematizadas na década de 1970 por Black, Scholes e Merton (ver Modelo Black – Scholes), no contexto da resolução do opção problema de precificação em finanças. Isso levou Scholes e Merton ao Prêmio Nobel de Economia em 1997 (quando Black estava morto). Black e Scholes iniciam seu trabalho de 1973 explicando que
If options are correctly priced in the market, it should not be possible to make sure profits by creating portfolios of long and short positions in options and their underlying stocks. Using this principle, a theoretical valuation formula for options is derived.
Observe que esse modelo é baseado no pressuposto de que todos os economicamente relevantes informação que poderiam afetar os preços, foi de fato incorporado pelos especuladores nos próprios preços. Isso foi chamado de "hipótese de mercado eficiente". Em economia, um"eficiente"o resultado é aquele em que todos os ganhos do comércio foram alcançados, para que todos estejam tão bem quanto possível, sem ter que piorar a situação de outros. Nesse contexto específico, significa que os especuladores descobriram todos os ganhos possíveis que podem ser obtidos ao jogar no mercado, de modo que resta um movimento browniano dos preços dos ativos (sobre a tendência de longo prazo determinada por "fundamentos", como crescimento macroeconômico, e não por especulação).
Até que ponto isso é verdade no mundo real é uma questão de intenso e intenso debate acadêmico. Uma piada frequentemente contada nesse contexto é que dois professores de economia estão andando pela rua, quando se nota uma nota de 100 dólares caída no chão. Quando o primeiro economista está prestes a buscá-lo, o outro (que evidentemente acredita em mercados eficientes) diz: "Deixe para lá. Se fosse uma nota real de US $ 100, alguém já a teria escolhido".
A hipótese de mercado eficiente (e, portanto, os modelos de movimento brownianos) parece funcionar bem no curto prazo. A longo prazo, no entanto, aparecem grandes flutuações difíceis de conciliar com a eficiência do mercado. Isso se conecta ao difícil problema de explicar teoricamente as maiores flutuações do ciclo de negócios, incluindo a recorrência de crises financeiras e recessões macroeconômicas.
O debate sobre esse assunto foi destacado pelo Prêmio Nobel de Economia de 2013, concedido a Fama, Hansen e Shiller (consulte a seção "informação avançada"No site da Fundação Nobel). A Fama é um dos defensores mais notáveis e eficazes da hipótese do mercado eficiente. Shiller cunhou o termo" exuberância irracional "para descrever como a psicologia das multidões pode levar a bolhas nos preços de certos ativos, o que eventualmente Hansen está em algum lugar no meio dessas visões e desenvolveu ferramentas matemáticas para estudar o problema com base em dados.Portanto, o comitê do Nobel defendeu sua posição na questão da eficiência dos mercados de ativos (como qualquer analista financeiro sensato faria ' os aconselhei a fazer diante da incerteza).
Uma ineficiência óbvia dos mercados de ativos é a "informação privilegiada", quando alguém sabe algo que o resto do mundo ainda não sabe e usa esse conhecimento para fazer uma negociação lucrativa no mercado. No entanto, em um mercado de ativos grande, sofisticado e robusto, seria de esperar que as oportunidades para informações privilegiadas sejam geralmente pontuais e de curto prazo. Um problema mais profundo é se o classificações de risco de vários valores mobiliários são geralmente confiáveis, como deveriam estar em um mercado eficiente. O fato de tais classificações terem levado muitos investidores a se desviarem da crise financeira de 2007-08 sugere que o mercado às vezes pode se afastar significativamente da eficiência.
Ambos os termos podem ser usados para descrever uma compra na qual alguém promete pagar por isso ao longo do tempo. Financiar uma compra é comprá-la "a crédito" e, nesse uso, eles são sinônimos.Como termos que descrevem assuntos mais amplos, o crédito refere-se especificamente a empréstimos e empréstimos, seja descrevendo transações envolvendo consumidores individuais, empresas que emi...
Em 1900, o matemático francês Louis Bachelier (1870-1946) concluiu uma tese de doutorado (supervisionada pela grande Henri Poincaré), no qual ele elaborou um modelo para a variação dos preços dos ativos (ou seja, de coisas que podem ser compradas e vendidas várias vezes) como ações e títulos. A tese, intitulada Théorie de la spéculation ("Teoria da especulação") recebeu uma recepção positiva do júri e foi publicada logo depois. Foi então amplamente esquecido por sessenta anos, até ser resgatado da obscuridade por economistas Paul Samuelson e outros, que perceberam que Bachelier havia feito uma contribuição seminal para o problema de entender os preços dos ativos. A tese de Bachelier é agora geralmente citada como o documento fundador das finanças quantitativas. Em 2006, foi publicado em tradução inglesa pela Princeton University Press, com um prefácio de Samuelson e comentários de dois matemáticos britânicos:
O principal insight de Bachelier foi que, se os preços dos ativos mostrassem algum padrão identificável (além da tendência de crescimento de longo prazo associada à expansão macroeconômica), seria de esperar que os especuladores o encontrassem e explorassem, eliminando-o. Assim, por exemplo, se fosse possível saber agora que o preço de uma determinada ação aumentará em três meses, os especuladores que negociam com esse conhecimento agiriam para amenizar esse aumento.
Vale citar o relatório oficial da tese de Bachelier, co-assinado por Poincaré, Appelle Boussinesq:
Assim, depois que os especuladores incorporarem todo o conhecimento disponível em seus negócios, espera-se que o resultado sejam preços mostrando flutuações imprevisíveis, independentemente de sua história passada. Isto é o que é chamado modernamente de "Caminhada aleatória"ou, em certos contextos, um"martingale".
As equações que Bachelier obteve deste modelo correspondem ao que é conhecido na física como movimento browniano. Bachelier escreveu isso cinco anos antes O célebre artigo de Albert Einstein explicando o movimento browniano físico em termos de mecânica estatística. Tanto quanto sabemos, Einstein nunca ouviu falar de Bachelier. A teoria matemática do movimento browniano como processo estocástico foi posteriormente formalizada por Norbert Wiener. Alguns matemáticos, portanto, se referiram ao movimento browniano como o "Bachelier-Processo de salsicha".
O próprio Bachelier estava bem ciente de (de fato, guiado por) uma analogia à lei de Fourier para a difusão física do calor (ver equação do calor) De acordo com o relatório oficial:
As idéias de Bachelier foram refinadas e sistematizadas na década de 1970 por Black, Scholes e Merton (ver Modelo Black – Scholes), no contexto da resolução do opção problema de precificação em finanças. Isso levou Scholes e Merton ao Prêmio Nobel de Economia em 1997 (quando Black estava morto). Black e Scholes iniciam seu trabalho de 1973 explicando que
Observe que esse modelo é baseado no pressuposto de que todos os economicamente relevantes informação que poderiam afetar os preços, foi de fato incorporado pelos especuladores nos próprios preços. Isso foi chamado de "hipótese de mercado eficiente". Em economia, um"eficiente"o resultado é aquele em que todos os ganhos do comércio foram alcançados, para que todos estejam tão bem quanto possível, sem ter que piorar a situação de outros. Nesse contexto específico, significa que os especuladores descobriram todos os ganhos possíveis que podem ser obtidos ao jogar no mercado, de modo que resta um movimento browniano dos preços dos ativos (sobre a tendência de longo prazo determinada por "fundamentos", como crescimento macroeconômico, e não por especulação).
Até que ponto isso é verdade no mundo real é uma questão de intenso e intenso debate acadêmico. Uma piada frequentemente contada nesse contexto é que dois professores de economia estão andando pela rua, quando se nota uma nota de 100 dólares caída no chão. Quando o primeiro economista está prestes a buscá-lo, o outro (que evidentemente acredita em mercados eficientes) diz: "Deixe para lá. Se fosse uma nota real de US $ 100, alguém já a teria escolhido".
A hipótese de mercado eficiente (e, portanto, os modelos de movimento brownianos) parece funcionar bem no curto prazo. A longo prazo, no entanto, aparecem grandes flutuações difíceis de conciliar com a eficiência do mercado. Isso se conecta ao difícil problema de explicar teoricamente as maiores flutuações do ciclo de negócios, incluindo a recorrência de crises financeiras e recessões macroeconômicas.
O debate sobre esse assunto foi destacado pelo Prêmio Nobel de Economia de 2013, concedido a Fama, Hansen e Shiller (consulte a seção "informação avançada"No site da Fundação Nobel). A Fama é um dos defensores mais notáveis e eficazes da hipótese do mercado eficiente. Shiller cunhou o termo" exuberância irracional "para descrever como a psicologia das multidões pode levar a bolhas nos preços de certos ativos, o que eventualmente Hansen está em algum lugar no meio dessas visões e desenvolveu ferramentas matemáticas para estudar o problema com base em dados.Portanto, o comitê do Nobel defendeu sua posição na questão da eficiência dos mercados de ativos (como qualquer analista financeiro sensato faria ' os aconselhei a fazer diante da incerteza).
Uma ineficiência óbvia dos mercados de ativos é a "informação privilegiada", quando alguém sabe algo que o resto do mundo ainda não sabe e usa esse conhecimento para fazer uma negociação lucrativa no mercado. No entanto, em um mercado de ativos grande, sofisticado e robusto, seria de esperar que as oportunidades para informações privilegiadas sejam geralmente pontuais e de curto prazo. Um problema mais profundo é se o classificações de risco de vários valores mobiliários são geralmente confiáveis, como deveriam estar em um mercado eficiente. O fato de tais classificações terem levado muitos investidores a se desviarem da crise financeira de 2007-08 sugere que o mercado às vezes pode se afastar significativamente da eficiência.