Como as equações diferenciais são usadas nos mercados econômico e financeiro?
Respostas
11/21/2024
Yee
Na macroeconomia, muitos modelos são linearizados em torno de um estado estacionário usando uma aproximação de Taylor. Embora isso tenha seus usos, vários fenômenos econômicos interessantes, como crises financeiras, só ocorrem quando a economia está longe do estado estacionário e apresentam efeitos não-lineares que os modelos linearizados matematicamente não podem capturar. A literatura de macrofinanças em tempo contínuo contorna esse problema resolvendo equações diferenciais derivadas do uso de cálculo estocástico, que estende o cálculo para permitir a integração com relação a variáveis aleatórias ao longo do tempo. Vou abordar um dos trabalhos mais importantes da literatura, Brunnermeier e Sannikov (2014), mas aqui é uma pesquisa mais ampla da literatura.
Algumas das principais contribuições econômicas de Brunnermeier e Sannikov (2014) (adiante BruSan) são:
Longe do estado estacionário (estocástico), onde a economia está em "bons tempos", os atritos financeiros podem gerar alta volatilidade dos preços dos ativos e amplificações não-lineares de pequenos choques na economia.
Após uma crise financeira, leva um tempo substancialmente mais longo para se recuperar em "bons tempos", porque o setor financeiro leva muito tempo para capitalizar novamente.
Paradoxo da volatilidade: mesmo quando o nível de risco fundamental chega a zero, a probabilidade de uma crise financeira não converge para zero. Em outras palavras, mesmo se você reduzir assintoticamente a quantidade de risco fundamental, ainda terá uma probabilidade diferente de zero de crise.
Para fornecer essas informações em um modelo econômico, a BruSan obtém dois ODEs de segunda ordem. O modelo começa com uma lei estocástica do movimento para a evolução do capital,
onde \mu é uma taxa controlável de crescimento de capital, \sigma é o “risco fundamental” dado e fixo da economia, e dZ_t é um movimento browniano padrão. Você então postula que o preço do capital q_t segue
onde \mu^q_t,\sigma_t^q são quantidades desconhecidas a serem encontradas. Da mesma forma, você postula que a utilidade marginal da riqueza para o setor financeiro ser
onde \mu^\theta_t,\sigma_t^\theta também são desconhecidos.
O objetivo é encontrar uma variável de estado \eta_t cuja evolução pode ser escrita como uma equação diferencial estocástica. Depois de encontrar essa variável de estado, você usa o lema de Ito, que é como regra de cadeia, mas para cálculo estocástico, para expressar q_t,\theta_t como funções de \eta_t. Você pode então escrever \sigma^q_t,\sigma^\theta_t como funções de q_t,\theta_t, suas primeiras derivadas e determinados parâmetros. Da mesma forma, você pode escrever \mu_t^q,\mu_t^\theta em termos de q_t,\theta_t; seus primeiro e segundo derivados; e dados parâmetros. Usando técnicas da teoria de escolha de portfólio, você também pode escrever \mu_t^q,\mu_t^\theta como funções de \sigma^q_t,\sigma^\theta_te determinados parâmetros. Igualando suas duas expressões para \mu_t^q,\mu_t^\theta, você recebe dois ODEs de segunda ordem para q_t,\theta_t. Para admitir uma solução numérica, o modelo é configurado para implicar um número suficiente de condições de contorno. Dadas essas condições de contorno, você resolve os EDOs ao longo de uma grade discreta \eta_t.
Para obter a primeira contribuição, você examina o comportamento de q_t e \sigma_t^q as \eta_t, a proxy do modelo para a saúde do setor financeiro, afasta-se do estado estacionário estocástico, que é onde \eta_t avança se nenhum choque acontecer. Para obter a segunda contribuição, o BruSan mostra que o tempo esperado para \eta_t retornar ao estado estacionário resolve uma equação diferencial de primeira ordem com coeficientes que dependem da lei do movimento para \eta_t. Para obter a terceira contribuição, você mostra que \sigma_t^\eta converge para um número diferente de zero como \sigma\rightarrow 0.
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Na macroeconomia, muitos modelos são linearizados em torno de um estado estacionário usando uma aproximação de Taylor. Embora isso tenha seus usos, vários fenômenos econômicos interessantes, como crises financeiras, só ocorrem quando a economia está longe do estado estacionário e apresentam efeitos não-lineares que os modelos linearizados matematicamente não podem capturar. A literatura de macrofinanças em tempo contínuo contorna esse problema resolvendo equações diferenciais derivadas do uso de cálculo estocástico, que estende o cálculo para permitir a integração com relação a variáveis aleatórias ao longo do tempo. Vou abordar um dos trabalhos mais importantes da literatura, Brunnermeier e Sannikov (2014), mas aqui é uma pesquisa mais ampla da literatura.
Algumas das principais contribuições econômicas de Brunnermeier e Sannikov (2014) (adiante BruSan) são:
Para fornecer essas informações em um modelo econômico, a BruSan obtém dois ODEs de segunda ordem. O modelo começa com uma lei estocástica do movimento para a evolução do capital,
\dfrac{dk_t}{k_t} = \mu\, dt + \sigma\, dZ_t,\tag{1}
onde \mu é uma taxa controlável de crescimento de capital, \sigma é o “risco fundamental” dado e fixo da economia, e dZ_t é um movimento browniano padrão. Você então postula que o preço do capital q_t segue
\dfrac{dq_t}{q_t} = \mu^{q}_t\, dt + \sigma^{q}_t\, dZ_t,\tag{2}
onde \mu^q_t,\sigma_t^q são quantidades desconhecidas a serem encontradas. Da mesma forma, você postula que a utilidade marginal da riqueza para o setor financeiro ser
\dfrac{d\theta_t}{\theta_t} = \mu^{\theta}_t\, dt + \sigma^{\theta}_t\, dZ_t,\tag{3}
onde \mu^\theta_t,\sigma_t^\theta também são desconhecidos.
O objetivo é encontrar uma variável de estado \eta_t cuja evolução pode ser escrita como uma equação diferencial estocástica. Depois de encontrar essa variável de estado, você usa o lema de Ito, que é como regra de cadeia, mas para cálculo estocástico, para expressar q_t,\theta_t como funções de \eta_t. Você pode então escrever \sigma^q_t,\sigma^\theta_t como funções de q_t,\theta_t, suas primeiras derivadas e determinados parâmetros. Da mesma forma, você pode escrever \mu_t^q,\mu_t^\theta em termos de q_t,\theta_t; seus primeiro e segundo derivados; e dados parâmetros. Usando técnicas da teoria de escolha de portfólio, você também pode escrever \mu_t^q,\mu_t^\theta como funções de \sigma^q_t,\sigma^\theta_te determinados parâmetros. Igualando suas duas expressões para \mu_t^q,\mu_t^\theta, você recebe dois ODEs de segunda ordem para q_t,\theta_t. Para admitir uma solução numérica, o modelo é configurado para implicar um número suficiente de condições de contorno. Dadas essas condições de contorno, você resolve os EDOs ao longo de uma grade discreta \eta_t.
Para obter a primeira contribuição, você examina o comportamento de q_t e \sigma_t^q as \eta_t, a proxy do modelo para a saúde do setor financeiro, afasta-se do estado estacionário estocástico, que é onde \eta_t avança se nenhum choque acontecer. Para obter a segunda contribuição, o BruSan mostra que o tempo esperado para \eta_t retornar ao estado estacionário resolve uma equação diferencial de primeira ordem com coeficientes que dependem da lei do movimento para \eta_t. Para obter a terceira contribuição, você mostra que \sigma_t^\eta converge para um número diferente de zero como \sigma\rightarrow 0.