Como explicar o que é 'mudança de medida' no teorema de Girsanov? Como é usado o Teorema de Girsanov, e que aplicabilidade isso tudo tem para as Finanças e Probabilidades Matemáticas?
Respostas
04/28/2024
Husein
Alterações na medida de probabilidade são importantes em finanças matemáticas porque permitem expressar preços de derivativos na forma "neutro ao risco" como uma soma esperada de dividendos com desconto. Isso, por sua vez, permite que muitos preços de derivativos (por exemplo, opções) sejam computados de forma fechada.
Mais precisamente, quando modelamos preços de valores mobiliários e derivativos em finanças matemáticas, tomamos como dada uma medida de probabilidade "verdadeira" P, que atribui probabilidades a diferentes estados do mundo. Esses estados, por sua vez, afetam a trajetória dos preços dos títulos (digamos, o processo de preço da taxa subjacente ou da taxa curta), bem como o tamanho dos dividendos. Esses estados e probabilidades correspondentes devem refletir as crenças subjetivas dos comerciantes ou investidores sobre o que acontecerá no futuro.
Infelizmente, em P, geralmente não podemos precificar derivativos como fluxos de dividendos descontados esperados. Em linguagem técnica, o processo de preço com desconto de um derivado não é um martingale: isto é, se C_t é o preço de um derivado no tempo t er é a taxa curta (vamos considerar constante por simplicidade), geralmente não é. o caso que
C_t = E_t[e^{-r(s - t)} C_s]
para s> t, onde E_t é a expectativa de tempo-t sob a medida de probabilidade P. Isso dificulta o processo de preço. (Na verdade, construções sem arbitragem ou a fórmula de Feynman-Kac fornecerão um PDE explícito cuja solução é C_t, mas sua solução geralmente precisará ser computada numericamente.) [1]
O que queremos é uma medida artificial de probabilidade Q (isto é, atribuir probabilidades diferentes a estados do mundo do que P faria) sob as quais o processo derivado descontado é um martingale. Tal Q é freqüentemente chamado de "medida neutra ao risco". [2] Em geral, poderíamos atribuir quaisquer probabilidades que desejássemos aos estados do mundo, até as condições técnicas da teoria da medida. Mas as expectativas em relação a essas medidas geralmente não correspondem a nada no mundo real. A chave aqui é que, para a escolha certa da medida Q, as expectativas erradas em Q realmente fornecem os preços (no mundo real) de valores mobiliários e derivativos.
Uma medida neutra ao risco Q nos permite precificar as coisas da seguinte maneira: Suponha que, em algum momento T, exista um argumento fácil de precificação sem arbitragem que identifique C_T. Por exemplo, se C é o processo de preço de uma compra européia de ações S e T é a data do exercício, então C_T = (S_T - K) ^ +, onde K é o preço de exercício. Nesse caso, a propriedade martingale wrt Q implica que
1) Como podemos construir essa medida neutra ao risco Q?
2) Como é o caminho de S_t em Q? (Precisamos saber disso para poder calcular sua expectativa de tempo-T em Q.)
O teorema de Girsanov ajuda a responder a ambas as perguntas, da seguinte maneira. (Aviso: o que se segue é um pouco técnico.)
Acontece que (até algumas condições técnicas), um processo de preço C_t para um derivado em S_t evita oportunidades de arbitragem apenas se uma medida neutra ao risco para o processo de preço do S subjacente também for uma medida neutra ao risco para C. Então, queremos construir uma medida neutra ao risco para S.
Suponha que modelemos S como um processo de difusão de deriva Ito, ou seja, assumimos que
dS_t = \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t
para processos de deriva e difusão apropriados, com W_t um processo Weiner (isto é, um movimento browniano) sob P.
O teorema de Girsanov (mais especificamente, um corolário fácil para ele) nos diz, quando mudamos de P para outra medida Q, como W_t evolui sob Q. Em particular, W_t evolui como a soma de um movimento browniano sob Q e um processo de deriva relacionado ao derivado de Radon-Nikodym que caracteriza Q. [3] Portanto, queremos escolher o derivado Radon-Nikodym para que o desvio de W_t wrt Q cancele exatamente o desvio de (a versão com desconto de) S_t, deixando-nos com um processo de difusão puro. Sob condições técnicas moderadas, o processo de difusão resultante será uma martingale, o que significa que Q é uma medida neutra ao risco.
Portanto, o teorema de Girsanov resolve os dois problemas de uma só vez: nos diz qual nova medida de probabilidade queremos escolher e nos diz que (a versão com desconto de) S_t evolui como um processo de difusão puro sob a nova medida. Isso nos permite calcular diretamente a expectativa na fórmula de precificação neutra ao risco e resolver explicitamente o preço do derivado. [4] Essa é uma maneira de chegar à fórmula de preços das opções Black-Scholes.
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Eu encobri muitos detalhes aqui (embora simultaneamente seja mais técnico do que eu queria), mas tentei capturar a essência de como as mudanças de probabilidade medem e o teorema de Girsanov são usados em finanças matemáticas. Observe que o teorema de Girsanov é realmente mais geral do que o resultado usado aqui, e tem algumas implicações adicionais na teoria dos processos estocásticos, sobre as quais não estou muito qualificado para comentar. Mas essa explicação reflete como eu vi o teorema usado nas finanças matemáticas.
[1] A fórmula "preço futuro descontado" que dei apenas funciona se o derivado não pagar dividendos nesse ínterim. Caso contrário, teríamos de substituir o preço descontado pelo "processo de ganho deflacionado", que incorpora dividendos pagos ao longo do caminho. Mas isso é realmente mais técnico do que eu quero ser para esta resposta.
[2] A idéia por trás do nome "medida neutra ao risco" é que você pode precificar valores mobiliários como se fosse neutro ao risco e não se importasse com qualquer volatilidade no fluxo de dividendos ou no processo de preços.
[3] O derivado de Radon-Nikodym também é chamado de processo de densidade e informa quanto peso de probabilidade Q atribui a vários estados do mundo em relação a P. Ele literalmente captura o ajuste que você está fazendo às probabilidades fornecidas por P. Se você estiver familiarizado com a função de densidade de uma distribuição de probabilidade como a distribuição normal, a derivada RN é muito semelhante. A densidade de uma distribuição normal indica a quantidade de peso atribuída sob a distribuição normal a um determinado pequeno intervalo da linha real, enquanto a derivada RN indica a quantidade de peso atribuída em Q a uma porção pequena (em P) da espaço de estado. De fato, para ser tecnicamente preciso, uma função de densidade de probabilidade é apenas o derivado RN de uma medida de probabilidade absolutamente contínua por meio da medida de Lebesgue, então elas realmente são a mesma coisa conceitualmente.
[4] "Simples" é relativo - uma boa quantidade de álgebra e, muitas vezes, mais algumas mudanças de medida, entram na computação da expectativa na representação neutra ao risco. Mas é um grande primeiro passo, pois pelo menos permite que você escreva uma fórmula explícita para o preço.
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Mais precisamente, quando modelamos preços de valores mobiliários e derivativos em finanças matemáticas, tomamos como dada uma medida de probabilidade "verdadeira" P, que atribui probabilidades a diferentes estados do mundo. Esses estados, por sua vez, afetam a trajetória dos preços dos títulos (digamos, o processo de preço da taxa subjacente ou da taxa curta), bem como o tamanho dos dividendos. Esses estados e probabilidades correspondentes devem refletir as crenças subjetivas dos comerciantes ou investidores sobre o que acontecerá no futuro.
Infelizmente, em P, geralmente não podemos precificar derivativos como fluxos de dividendos descontados esperados. Em linguagem técnica, o processo de preço com desconto de um derivado não é um martingale: isto é, se C_t é o preço de um derivado no tempo t er é a taxa curta (vamos considerar constante por simplicidade), geralmente não é. o caso que
C_t = E_t[e^{-r(s - t)} C_s]
para s> t, onde E_t é a expectativa de tempo-t sob a medida de probabilidade P. Isso dificulta o processo de preço. (Na verdade, construções sem arbitragem ou a fórmula de Feynman-Kac fornecerão um PDE explícito cuja solução é C_t, mas sua solução geralmente precisará ser computada numericamente.) [1]
O que queremos é uma medida artificial de probabilidade Q (isto é, atribuir probabilidades diferentes a estados do mundo do que P faria) sob as quais o processo derivado descontado é um martingale. Tal Q é freqüentemente chamado de "medida neutra ao risco". [2] Em geral, poderíamos atribuir quaisquer probabilidades que desejássemos aos estados do mundo, até as condições técnicas da teoria da medida. Mas as expectativas em relação a essas medidas geralmente não correspondem a nada no mundo real. A chave aqui é que, para a escolha certa da medida Q, as expectativas erradas em Q realmente fornecem os preços (no mundo real) de valores mobiliários e derivativos.
Uma medida neutra ao risco Q nos permite precificar as coisas da seguinte maneira: Suponha que, em algum momento T, exista um argumento fácil de precificação sem arbitragem que identifique C_T. Por exemplo, se C é o processo de preço de uma compra européia de ações S e T é a data do exercício, então C_T = (S_T - K) ^ +, onde K é o preço de exercício. Nesse caso, a propriedade martingale wrt Q implica que
C_t = E^Q_t[e^{-r(T-t)} C_T] = E^Q_t[e^{-r(T - t)} (S_T - K)^+].
Ficamos com duas questões importantes:
1) Como podemos construir essa medida neutra ao risco Q?
2) Como é o caminho de S_t em Q? (Precisamos saber disso para poder calcular sua expectativa de tempo-T em Q.)
O teorema de Girsanov ajuda a responder a ambas as perguntas, da seguinte maneira. (Aviso: o que se segue é um pouco técnico.)
Acontece que (até algumas condições técnicas), um processo de preço C_t para um derivado em S_t evita oportunidades de arbitragem apenas se uma medida neutra ao risco para o processo de preço do S subjacente também for uma medida neutra ao risco para C. Então, queremos construir uma medida neutra ao risco para S.
Suponha que modelemos S como um processo de difusão de deriva Ito, ou seja, assumimos que
dS_t = \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t
para processos de deriva e difusão apropriados, com W_t um processo Weiner (isto é, um movimento browniano) sob P.
O teorema de Girsanov (mais especificamente, um corolário fácil para ele) nos diz, quando mudamos de P para outra medida Q, como W_t evolui sob Q. Em particular, W_t evolui como a soma de um movimento browniano sob Q e um processo de deriva relacionado ao derivado de Radon-Nikodym que caracteriza Q. [3] Portanto, queremos escolher o derivado Radon-Nikodym para que o desvio de W_t wrt Q cancele exatamente o desvio de (a versão com desconto de) S_t, deixando-nos com um processo de difusão puro. Sob condições técnicas moderadas, o processo de difusão resultante será uma martingale, o que significa que Q é uma medida neutra ao risco.
Portanto, o teorema de Girsanov resolve os dois problemas de uma só vez: nos diz qual nova medida de probabilidade queremos escolher e nos diz que (a versão com desconto de) S_t evolui como um processo de difusão puro sob a nova medida. Isso nos permite calcular diretamente a expectativa na fórmula de precificação neutra ao risco e resolver explicitamente o preço do derivado. [4] Essa é uma maneira de chegar à fórmula de preços das opções Black-Scholes.
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Eu encobri muitos detalhes aqui (embora simultaneamente seja mais técnico do que eu queria), mas tentei capturar a essência de como as mudanças de probabilidade medem e o teorema de Girsanov são usados em finanças matemáticas. Observe que o teorema de Girsanov é realmente mais geral do que o resultado usado aqui, e tem algumas implicações adicionais na teoria dos processos estocásticos, sobre as quais não estou muito qualificado para comentar. Mas essa explicação reflete como eu vi o teorema usado nas finanças matemáticas.
[1] A fórmula "preço futuro descontado" que dei apenas funciona se o derivado não pagar dividendos nesse ínterim. Caso contrário, teríamos de substituir o preço descontado pelo "processo de ganho deflacionado", que incorpora dividendos pagos ao longo do caminho. Mas isso é realmente mais técnico do que eu quero ser para esta resposta.
[2] A idéia por trás do nome "medida neutra ao risco" é que você pode precificar valores mobiliários como se fosse neutro ao risco e não se importasse com qualquer volatilidade no fluxo de dividendos ou no processo de preços.
[3] O derivado de Radon-Nikodym também é chamado de processo de densidade e informa quanto peso de probabilidade Q atribui a vários estados do mundo em relação a P. Ele literalmente captura o ajuste que você está fazendo às probabilidades fornecidas por P. Se você estiver familiarizado com a função de densidade de uma distribuição de probabilidade como a distribuição normal, a derivada RN é muito semelhante. A densidade de uma distribuição normal indica a quantidade de peso atribuída sob a distribuição normal a um determinado pequeno intervalo da linha real, enquanto a derivada RN indica a quantidade de peso atribuída em Q a uma porção pequena (em P) da espaço de estado. De fato, para ser tecnicamente preciso, uma função de densidade de probabilidade é apenas o derivado RN de uma medida de probabilidade absolutamente contínua por meio da medida de Lebesgue, então elas realmente são a mesma coisa conceitualmente.
[4] "Simples" é relativo - uma boa quantidade de álgebra e, muitas vezes, mais algumas mudanças de medida, entram na computação da expectativa na representação neutra ao risco. Mas é um grande primeiro passo, pois pelo menos permite que você escreva uma fórmula explícita para o preço.